Nichtlineare Systeme und Chaos

Nach anfänglichen Zweifeln noch bis in die 1990er Jahre hinein, ob Chaosforschung überhaupt eine relevante Forschungsrichtung darstellt oder mit den Fraktalen und Attraktoren nur einen mathematik-ästhetischen Beitrag liefert, zweifelt heute niemand mehr daran, dass Chaos ein konstituierender Mechanismus von komplexen, vor allem lebenden Systemen ist. Natürlich ist auch heute das Thema nahe am Mystizismus, wie Christoph Holzhey ganz richtig feststellt, aber das muss man zugunsten eines Fortschritts aushalten, wenn es denn überhaupt einen Nachteil darstellt. Die mystischen Ausführungen mit zahlreichen buddhistischen Anspielungen, die sich um die Teilchenpyhsik ranken, sind wesentlich ausgeprägter und niemand zweifelt daran, dass diese Forschung substantielle Erkenntnisse liefert.

Rapid-prototyping Skulptur des Rössler-Attraktor von Florian Grond

Eine Ikone der Chaosforschung ist der Rössler-Attraktor, hier dargestellt als Rapid-Prototyping-Form, die von Florian Grond erstellt wurde. Dieser chaotische Attraktor ist nach meinem Doktorvater Otto E. Rössler benannt, der in Tübingen lebt und an der dortigen Universität arbeitet. Eine exzellente Einführung in Chaos findet man auf scholarpedia.org.

Lyapunov-Exponenten

Wesentliche Charakteristika der Stabilität dissipativer Systeme stellen die so genannten Lyapunov-Exponenten dar. Letztere sind ein Maß für das exponentielle Auseinanderdriften bzw. Konvergieren von benachbarten Trajektorien eines nichtlinearen Systems. Die Bedeutung resultiert aus der Tatsache, dass in praxi nie eine völlig exakte Messung eines Zustandes vorgenommen werden kann. Bei chaotischen Systemen sorgt ein oder mehrere positive Lyapunov-Exponenten dafür, dass sich die Messunsicherheit sehr schnell ausweitet, was eine Prädiktion sehr schwierig gestaltet (bekanntes Beispiel: Wetterdynamik). Die Lyapunov-Exponenten stellen daher ein ausgezeichnetes Maß für die (Un-)Vorhersagbarkeit dar. Wir arbeiten daran, die Numerik der Berechung dieser wichtigen Kenngrößen zu verbessern, da es sich gezeigt hat, dass die bisherigen Methoden unzulänglich sind.

Das Bild links oben zeigt die sich aufweitende Mannigfaltigkeit im Rössler-Attraktor. In den roten Bereichen, die innerhalb des Attraktors überwiegen, sind die lokalen Exponenten positiv. Hingegen überwiegen senkrecht zum Attraktor die negativen Lyapunov-Exponenten. Dies führt zu einer weitgehend blau eingefärbten Mannigfaltigkeit im Bild links unten. Dies erklärt, warum der Attrakor außenliegende Zustände attrahiert und die innerhalb des Attraktors liegenden Bereiche aber exponentiell unscharf werden lässt. Mein Dank gilt dem Kollegen Florian Grond, der in diesem Forschungsgebiet seine Diplomarbeit anfertigte. Zusammen mit Florian sind folgende Publikationen zur numerischen Berechnung von Lyapunov-Exponenten zustande gekommen:

Florian Grond, Hans H. Diebner, Sven Sahle, Adolf Mathias, Sebastian Fischer and Otto E. Rossler: A robust, locally interpretable algorithm for Lyapunov exponents. Chaos, Solitons & Fractals 16, 841-852 (2003). (pdf)

Florian Grond and Hans H. Diebner: Local Lyapunov Exponents for Dissipative Continuous Systems. Chaos, Solitons & Fractals 23, 1809-1817 (2005). (pdf)

Chaotic Itinerancy

Anlässlich eines Forschungsaufenthalts an der Hokkaido-Universität Sapporo vom 21. Januar bis 29 März 2005 setzte ich mich mit dem Konzept der Chaotic Itinerancy von Ichiro Tsuda auseinander. Es kam folgende Publikation zustande:

Hans H. Diebner and Ichiro Tsuda: Fundamental Interfaciology: Indistinguishability and Time's Arrow. In: Michel Petitjean (Ed.): Proceedings of FIS2005 - The Third Conference on the Foundations of Information Science. MDPI online (2005). (pdf)

Umweltsystemwissenschaften

Im Rahmen von Lehraufträgen an der KF-Universität Graz im Gebiet der Umweltsystemwissenschaften seit dem Sommersemester 2004 rückten nichtlineare Ökologie- und Populationsmodelle in den Mittelpunkt meines Interesses.

Chaos-Kontolle und Synchronisation

Eines der wichtigsten Anwendungsbereiche der Chaosforschung ist Chaos-Kontrolle und Synchronisation. Kontrollverfahren spielen sowohl in technischer als auch in biologisch-ökologischer Hinsicht wichtige Rollen. In gewisser Hinsicht betreibt die Natur eine Art Kommunikation mit Hilfe von Synchronisationsmechanismen von nichtlinearen Systemen. Eine technische Anwendung ist im Bereich der Reduktion von Klopfen in Verbrennungsmotoren denkbar, denn diese Verbrennungsfluktuationen haben tatsächlich einen deterministisch-chaotischen Anteil, der mit Feedback-Kontolle erheblich reduziert werden kann. Ich verweise in diesem Zusammenhang auch auf meine Erforschung kognitiver Systeme. Siehe auch:

Kazuhiro Matsumoto, Hans H. Diebner, Ichiro Tsuda, and Yukiharu Hosoi: Application of Chaos Theory to Engine Systems. SAE International 2008.