Hans H. Diebners Forschung
Der Lorenz-Attraktor
Bifurkationsparameter b = 2.66 (mit Slider durchstimmbar)
Periode-2-Orbit
Periode-4-Orbit
Chaos (Periode-unendlich, d.h. nicht mehr periodisch)
Kurzbeschreibung des Lorenz-Systems
Das Lorenz-System genügt den Differentialgleichungen
dx/dt = 10(y - x)
dy/dt = x(28 - z) - y
dz/dt = xy - bz
Dieses vereinfachte dynamische Modell einer atmosphärischen Konvektionsströmung wurde 1963 von Edward Norton Lorenz unter dem Titel "Deterministic nonperiodic flow" publiziert und eröffnete damit die spannende Erforschung nichtlinearer dynamischer Systeme mit nicht-periodischen Lösungen, die man anfangs "seltsame Attraktoren" nannte. Die notwendige Instabilität eines dynamischen Systems, das solche heutzutage als chaotische Attraktoren bezeichneten Strukturen hervorbringen kann, nannte Lorenz "Schmetterlingseffekt". Diese Metapher führte zu allerlei Fehlinterpretationen. Etwas nüchterner redet man heute von der sensitiven Abhängigkeit von Anfangsbedingungen, d.h., die radikale Änderung der Dynamik nach eine fast verschwindend geringen Änderung des Startwertes der Dynamik. Diese radikale Änderung nach geringfügiger Anfangswertveränderung vereitelt eine präzise Vorhersagbarkeit. Die notwendige Messunschärfe eines momentanen Systemzustands eines realen Systems, das einer chaotischen Dynamik genügt, vereitelt seine Vorhersagbarkeit, selbst wenn das mathematische Modell wesentliche Eigenschaften des realen Systems gut erfasst.
dy/dt = x(28 - z) - y
dz/dt = xy - bz
Die Form der Lösung der Differentialgleichung (im Falle von dynamischen Systemen Trajektorie genannt, die in der Simulation zu sehen ist) hängt von dem konstanten Wert des Kontrollparameters b ab. Ein nichtlineares dynamisches System, wie z.B. das Lorenz-System, hat üblicherweise ein komplexes Lösungsverhalten. Durch Änderung des Kontrollparameters b lassen sich verschiedene dynamische Modi einstellen. Bei einem Wert von ca b=0.5 stellt sich eine einfach periodische Lösung (Periode-1-Grenzzyklus) ein. Ein Wert von ca b=0.65 liefert einen Periode-2-Grenzzyklus. Siehe auch die obigen voreingestellten Werte des Bifurkationsparameters b, die einen Teil der Periodenverdopplung wiedergeben. Im Gegensatz zum Rössler-System ist eine Route ins Chaos durch Periodenverdopplung nur mit erheblichem numerischen Aufwand zu bewerkstelligen, weil die periodischen Orbits des Lorenz-System erheblich instabiler sind als entsprechende Orbits im Rössler-System. Im Rahmen dieser webGL-Applikation ist die erforderliche Präzision aus Performance-Gründen nicht möglich.
Dank an three.js