Hans H. Diebners Forschung

Der Rössler-Attraktor

Bifurkationsparameter b = 5.6  (mit Slider durchstimmbar)
Zoom: Mausrad; Trackball: linke Maustaste gedrückt halten und Maus bewegen.
Menu für voreingestellte Werte des Bifurkationsparameters b:
  Periode-1-Orbit
  Periode-2-Orbit
  Periode-4-Orbit
  Periode-8-Orbit
  Chaos (Periode-unendlich, d.h. nicht mehr periodisch)
  grenzwertig stabiler Periode-3-Orbit (periodisches Fenster im Chaos) mit chaotischer Intermittenz

Kurzbeschreibung des Rössler-Systems

Das Rössler-System beschreibt die Dynamik von drei miteinander wechselwirkenden Variablen x, y, z. Diese drei Variablen sind die drei Koordinaten des in der Simulation dargestellten Phasenraums. Ein Anwendungsbeispiel ist die Reaktion von drei chemischen Substanzen. Die drei Variablen x, y, und z sind dann die Konzentrationen dieser drei Substanzen, die sich z.B. in einer Lösung in einer Petrischale befinden. Oft abstrahiert man jedoch von einer konkreten Anwendung und studiert zunächst die allgemeinen mathematischen Eigenschaften des Wechselwirkungsmodelles.
Das Rössler-System genügt den Differentialgleichungen
dx/dt = -y -z
dy/dt = x + 0.2y
dz/dt = 0.1 + z(x - b)
Die Form der Lösung der Differentialgleichung (im Falle von dynamischen Systemen Trajektorie genannt, die in der Simulation zu sehen ist) hängt von dem konstanten Wert des Bifurkationsparameters b ab. Wir stellen uns als Beispiel die Konzentration einer Katalysatorsubstanz in unserer chemischen Reaktion vor. Die Konzentration dieser Substanz ändert sich nicht, aber die Anwesenheit beieinflußt die Reaktion der drei Variablen. Wir können im Experiment bestimmen, wieviel Katalysatorsubstanz wir dazugeben. Wir simulieren das, indem wir den Parameterwert b mit dem Slider durchstimmen. Bei kleinen Werten ozillieren die drei Substanzen periodisch. Erhöht man den Wert, verändert sich die Art der periodischen Oszillation. Ein nichtlineares dynamisches System hat ein komplexes Lösungsverhalten. Erhöht man den Bifurkationsparameter b langsam vom Wert ca. 2 bis ca. 3.5, dann spaltet sich bei einem bestimmten Zwischenwert das einfach-periodische Verhalten in einen Periode-2-Orbit auf, man spricht von einer Bifurkation. Der Parameter, mit dem man eine solche Bifurkation herbeiführen kann, heißt daher Bifurkationsparameter. Siehe auch die obigen voreingestellten Werte des Bifurkationsparameters b, die einen Teil der Periodenverdopplung wiedergeben. Man beachte bitte, dass die Werte in dieser Web-Anwendung aus Performance-Gründen nicht sehr präzise sind.

Dank an three.js