Hans H. Diebners Forschung

Lyapunov-Exponenten

Wesentliche Charakteristika der Stabilität dissipativer Systeme stellen die so genannten Lyapunov-Exponenten dar. Letztere sind ein Maß für das exponentielle Auseinanderdriften bzw. Konvergieren von benachbarten Trajektorien eines nichtlinearen Systems. Die Bedeutung resultiert aus der Tatsache, dass in praxi nie eine völlig exakte Messung eines Zustandes vorgenommen werden kann. Bei chaotischen Systemen sorgt ein oder mehrere positive Lyapunov-Exponenten dafür, dass sich die Messunsicherheit sehr schnell ausweitet, was eine Prädiktion sehr schwierig gestaltet (bekanntes Beispiel: Wetterdynamik). Die Lyapunov-Exponenten stellen daher ein ausgezeichnetes Maß für die (Un-)Vorhersagbarkeit dar. Wir arbeiten daran, die Numerik der Berechung dieser wichtigen Kenngrößen zu verbessern, da es sich gezeigt hat, dass die bisherigen Methoden unzulänglich sind.

Das Bild links oben zeigt die sich aufweitende Mannigfaltigkeit im Rössler-Attraktor. In den roten Bereichen, die innerhalb des Attraktors überwiegen, sind die lokalen Exponenten positiv. Hingegen überwiegen senkrecht zum Attraktor die negativen Lyapunov-Exponenten. Dies führt zu einer weitgehend blau eingefärbten Mannigfaltigkeit im Bild links unten. Dies erklärt, warum der Attrakor außenliegende Zustände attrahiert und die innerhalb des Attraktors liegenden Bereiche aber exponentiell unscharf werden lässt. Mein Dank gilt dem Kollegen Florian Grond, der in diesem Forschungsgebiet seine Diplomarbeit anfertigte. Zusammen mit Florian und anderen sind folgende Publikationen zur numerischen Berechnung von Lyapunov-Exponenten zustande gekommen:

Florian Grond, Hans H. Diebner, Sven Sahle, Adolf Mathias, Sebastian Fischer and Otto E. Rossler: A robust, locally interpretable algorithm for Lyapunov exponents. Chaos, Solitons & Fractals 16, 841-852 (2003). (pdf)
Florian Grond and Hans H. Diebner: Local Lyapunov Exponents for Dissipative Continuous Systems. Chaos, Solitons & Fractals 23, 1809-1817 (2005). (pdf)