Hans H. Diebners Forschung

Erweitertes Lotka-Volterra Räuber-Beute-Modell

dx/dt = ax - bx2 - cxy
dy/dt = -ey - c'xy
Startwerte: x0 = y0 = 0.3.
Integration mit Euler-Algo­rith­mus mit Zeit­schritt dt = 0.05. Trajektorien- bzw. Zeit­reihen­länge: 8000 Integrations­schritte.

  = b
In der hier dargestellten Form wurde das Räuber-Beute-Interaktionsmodell 1926 von V. Volterra in seinem Aufsatz "Variazione e fluttuazini del numero d'individui in specie animali conviventi" diskutiert. Die Beutespezies x genügt ohne Einwirkung der Räuberspezies einer logistischen Wachstumsdynamik
dx/dt = ax - bx2.
Der Parameter b ist umgekehrt proportional zur Umweltkapazität (carrying capacity). Gelegentlich findet man unter dem Begriff "Lotka-Volterra-Modell" die Dynamik mit b = 0, also ohne den Sättigungsterm. Tatsächlich wurde diese Standardform zuerst von Lotka eingeführt und analysiert. Wir wollen diese konservative (nicht-dissipative) Variante hier als Spezialfall betrachten.

Für den konservativen Spezialfall b = 0 geht die Umweltkapazität gegen unendlich und die Beutespezies könnte sich ohne Einwirkung eines Räubers (c = 0 oder y = 0) unbegrenzt exponentiell vermehren. Allein die Wechselwirkung mit der Raubtierspezies kann die Beutepopulation begrenzen. Allerdings oszillieren beide Populationen dann konservativ. Die Amplitude wird durch die Anfangswerte bestimmt.

Für b > 0 hingegen, d.h., für eine endliche Umweltkapazität, ist das System dissipativ und die Populationsgrößen oszillieren gedämpft und klingen schließlich auf einen stabilen invarianten Fixpunkt ab. Die transiente Oszillation erhält man nur, wenn die Startwerte nicht schon auf dem Fixpunkt gewählt werden. Nach der transienten Phase kann das System nur durch externe Störungen wieder in eine gedämpfte Oszillation gebracht werden. Mit Hilfe des Schiebereglers lassen sich die dynamischen Modi interaktiv ausprobieren.