Hans H. Diebners Forschung

Epidemiologisches Standard-SIR-Modell

Das einfachste epidemiologische SIR-System genügt den Differentialgleichungen
dS/dt = - aSI
dI/dt = aSI - bI
dR/dt = bI
Die betrachtete Population setzt sich zusammen aus:
S: Suszeptiblen (infizierbaren Gesunden)
I: Infizierten
R: removed/recovered (Immunen)
Die Graphik zeigt die zeitlichen Verläufe dieser drei Populationsanteile: S(t) rot, I(t) grün, R(t) blau. Parameterwerte:
b=0.02
a=0.02...0.2 (mit Slider durchstimmbar).

  Relative Infektionsrate a

Die Dynamik startet mit einer relativen Population von S(t=0) = 0.99, d.h. mit 99% suszeptiblen Individuen und mit einem sehr kleinen infizierten Populationsanteil von 1%, d.h., I(t=0) = 0.01. Die relative Infektionsrate a, die auch als hinsichtlich der Infektion erfolgreiche Kontaktrate zwischen den Individuen interpretiert werden kann, legt die Geschwindigkeit fest, mit der sich die Infektion ausbreitet. Die Ausbreitung ist proportional der Anzahlen der suszeptiblen sowie der infizierten Individuen. Die Suszeptiblen nehmen daher mit einer Rate von aSI ab (negatives Vorzeichen), und die Infizierten mit dieser Rate zu (positives Vorzeichen).

Mit einer relativen Rate b genesen die Infizierten und werden immun, d.h., der Anteil bI wird den infizierten pro Zeiteinheit entnommen (negatives Vorzeichen) und der immunen Gruppe zugeführt (positives Vorzeichen). Zum Ende der Epidemie ist die suzeptible Population Null und die Gesamtpopulation besteht nur noch aus Immunen. Dazwischen nimmt der Anteil der Infizierten zunächst zu, um dann gegen Null abzufallen, nämlich wenn alle Suszeptiblen die Infektion durchlaufen haben und nur noch Immune übrig sind.

Damit sich die anfänglich kleine Infektion nicht ausbreiten kann, muss gelten:
dI/dt = aSI - bI < 0
Man leitet für eine nahezu 100%ige suszeptible Polulation (S=1) daraus ab, dass a < b gelten muss. Stellt man den Schieberegler ganz nach links auf a = b = 0.02 bleibt im Grenzfall die Epidemie aus.

Der Quotient R0 = a/b heißt Basis-Reproduktionszahl. Diese (reine, d.h. einheitenfreie) Zahl kann wie folgt interpretiert werden: R0 ist die Anzahl der erwarteten sekundären Fälle (Infektionen), die auf die Ansteckungen durch ein einzelnes infiziertes Individuum zurückzuführen sind. Damit sich die Infektion ausbreiten kann folgt, dass R0 ≥ 1 sein muss. Ein infiziertes Individuum sollte also (im Mittel) mindestens ein anderes Individuum anstecken, damit es zur Epidemie kommt. Für R0 < 1 kann sich die Infektion nicht ausbreiten, was der oben diskutierten Bedingung entspricht. Sollte für eine bestimmte Infektionsart die Basis-Reproduktionszahl größer als 1 sein, dann kann man vermöge einer genügend großen Durchimpfung der Population versuchen, die Zahl unter den Wert von 1 zu drücken, um einen Epidemie zu verhindern.

Sollte man aber durch die Impfung einen Wert R0 < 1 verpassen, dann kann sich unter Umständen als nachteilig erweisen, dass dann die Epidemie lange anhält. Bewegt man den Schieberegler nach links, aber nicht bis zum Anschlag (d.h., a = b), dann erniedrigt sich die Inzidenz, also die Anzahl der Neuinfektionen pro Zeitintervall, d.h., die grüne Infektionskurve wird sehr flach, mit der Nebenwirkung, dass sie sich länger auf dem niedrigeren Niveau hält.